4角形の対辺同士の内積
4角形の対辺同士の内積
4角形ABCDの辺の長さを順にabcdとし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とする。
このとき、
4角形ABCDの辺の長さを順にabcdとし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とする。
このとき、
(1)
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \] \[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \](2)
\[ \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \](1)
\begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} & =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\right)\\ & =\left\{ \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-p^{2}\right)-a^{2}+\frac{1}{2}\left(a^{2}+d^{2}-q^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \end{align*} 同様に\[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \]
(2)
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 4角形の対辺同士の内積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kwyxzrp0/ |
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5心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の定義と存在性
第1余弦定理と第2余弦定理
\[
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A
\]
5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]