4角形の対辺同士の内積
4角形の対辺同士の内積
4角形ABCDの辺の長さを順にabcdとし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とする。
このとき、
4角形ABCDの辺の長さを順にabcdとし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とする。
このとき、
(1)
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \] \[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \](2)
\[ \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \](1)
\begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} & =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\right)\\ & =\left\{ \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-p^{2}\right)-a^{2}+\frac{1}{2}\left(a^{2}+d^{2}-q^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \end{align*} 同様に\[ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right) \]
(2)
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 4角形の対辺同士の内積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kwyxzrp0/ |
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ブレートシュナイダーの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}
\]
オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]
4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]