オイラーの定理
オイラーの定理
4角形ABCDがある。
各辺の長さを\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{BC}\right|=b,\left|\overrightarrow{CD}\right|=c,\left|\overrightarrow{DA}\right|=d\)として、対角線を\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とすると、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \] となる。
4角形ABCDがある。
各辺の長さを\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{BC}\right|=b,\left|\overrightarrow{CD}\right|=c,\left|\overrightarrow{DA}\right|=d\)として、対角線を\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とすると、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \] となる。
\begin{align*}
abcd\cos\left(A+C\right) & =abcd\cos A\cos C-abcd\sin A\sin C\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CB}\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\overrightarrow{CD}\cdot\left(\overrightarrow{CB}\times\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right)\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\\
& =\frac{1}{4}\left(a^{2}+d^{2}-q^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}-q^{2}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)+\frac{1}{4}\left(c^{2}+d^{2}-p^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-p^{2}\right)\\
& =\frac{1}{4}\left\{ p^{4}+q^{4}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\right\} -\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)
\end{align*}
右辺最終項は対辺同士の内積で、
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} abcd\cos\left(A+C\right) & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+2\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ -p^{2}q^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right\} \end{align*} 故に、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \]
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} abcd\cos\left(A+C\right) & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+2\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ -p^{2}q^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right\} \end{align*} 故に、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \]
ページ情報
| タイトル | オイラーの定理 |
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3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]
トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]
4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]