(0)

4角形ABCDが円に内接しているので、対頂角の和は180°になるので\(\cos\left(A+C\right)=-1\)となる。
オイラーの定理より、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CA}\right|^{2} & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}-2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\cos\left(A+C\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\\ & =\left(\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\right)^{2} \end{align*} これより、辺の長さは正なので、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| \end{align*} となる。

(0)-2

\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{BD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{BC}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \end{align*}