円に外接する4角形の面積
円に外接する4角形の面積
4角形\(ABCD\)が円に外接するとき辺の長さを順に\(a,b,c,d\)とすると面積\(S\)は、
\[ S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2} \] となる。
4角形\(ABCD\)が円に外接するとき辺の長さを順に\(a,b,c,d\)とすると面積\(S\)は、
\[ S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2} \] となる。
半周長を
\[ s=\frac{a+b+c+d}{2} \] とする。
4角形が円に外接しているとき対辺の和が等しいので、
\begin{align*} s-a & =\frac{a+b+c+d}{2}-a\\ & =\frac{-a+c+b+d}{2}\\ & =\frac{-a+c+a+c}{2}\\ & =c \end{align*} となる。
同様に、\(s-b=d,s-c=a,s-d=b\)となるので、ブレートシュナイダーの公式より、
\begin{align*} S & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{cdab-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{1-\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{\sin^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\left|\sin\frac{A+C}{2}\right|\\ & =\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2} \end{align*} となる。
\[ s=\frac{a+b+c+d}{2} \] とする。
4角形が円に外接しているとき対辺の和が等しいので、
\begin{align*} s-a & =\frac{a+b+c+d}{2}-a\\ & =\frac{-a+c+b+d}{2}\\ & =\frac{-a+c+a+c}{2}\\ & =c \end{align*} となる。
同様に、\(s-b=d,s-c=a,s-d=b\)となるので、ブレートシュナイダーの公式より、
\begin{align*} S & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{cdab-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{1-\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{\sin^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\left|\sin\frac{A+C}{2}\right|\\ & =\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2} \end{align*} となる。
ページ情報
タイトル | 円に外接する4角形の面積 |
URL | https://www.nomuramath.com/e1cyjxv3/ |
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オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]
トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]
4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]
3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]