幾何学

3角形の垂心と円に内接する4角形

by nomura · 2024年10月31日

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3角形の垂心と円に内接する4角形
3角形

A B C

があり垂心を

H

として直線

A H

と直線

B C

の交点を

P

、直線

B H

と直線

C A

の交点を

Q

、直線

C H

と直線

A B

の交点を

R

とする。
このとき4角形

A R H Q, B P H R, C Q H P

は円に内接する。

∠ A R H = ∠ H Q A = 90^{\circ}

で

∠ A R H + ∠ H Q A = 180^{\circ}

なので4角形

A R H Q

は円に内接する。
4角形

B P H R, C Q H P

も同様である。

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ページ情報

タイトル	3角形の垂心と円に内接する4角形
URL	https://www.nomuramath.com/nh6bw354/
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3角形の成立条件

3角形の3辺の長さが a, b, c \Leftrightarrow | b - c | < a < b + c

4角形の対角線と面積の関係

S = \frac{1}{2} (\vec{A C} \times \vec{D B})

3角形の面積と位置ベクトル

X = \frac{p A + q B + r C}{p + q + r}

3点を通る円

x^{2} + y^{2} - \frac{1}{x_{1} y_{2} + y_{1} x_{3} + x_{2} y_{3} - x_{1} y_{3} - y_{1} x_{2} - y_{2} x_{3}} (\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} y_{2} - y_{3} & y_{3} - y_{1} & y_{1} - y_{2} \\ x_{3} - x_{2} & x_{1} - x_{3} & x_{2} - x_{1} \\ x_{2} y_{3} - y_{2} x_{3} & y_{1} x_{3} - x_{1} y_{3} & x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2} \end{array}) (\begin{matrix} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} \\ x_{2}^{2} + y_{2}^{2} \\ x_{3}^{2} + y_{3}^{2} \end{matrix}) = 0