重心・垂心・外心の関係

by · 2024年11月6日

重心・垂心・外心の関係

(1)

重心G、垂心H、外心Jには
H+2J=3G の関係がある。

(2)オイラー線

重心G、垂心H、外心Jは一直線上にあり、この直線をオイラー線といい、
JH→=3JG→ の関係がある。

(1)

J=sin⁡(2A)A+sin⁡(2B)B+sin⁡(2C)Csin⁡(2A)+sin⁡(2B)+sin⁡(2C)=sin⁡(2A)A+sin⁡(2B)B+sin⁡(2C)C4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=2sin⁡Acos⁡AA+sin⁡Bcos⁡BB+sin⁡Ccos⁡CC4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=sin⁡Acos⁡(π−(B+C))A+sin⁡Bcos⁡(π−(A+C))B+sin⁡Ccos⁡(π−(A+B))C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=−sin⁡Acos⁡(B+C)A+sin⁡Bcos⁡(A+C)B+sin⁡Ccos⁡(A+B)C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=−sin⁡A(cos⁡Bcos⁡C−sin⁡Bsin⁡C)A+sin⁡B(cos⁡Acos⁡C−sin⁡Asin⁡C)B+sin⁡C(cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B)C2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=−sin⁡Acos⁡Bcos⁡CA+sin⁡Bcos⁡Acos⁡CB+sin⁡Ccos⁡Acos⁡BC2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C+12(A+B+C)=−tan⁡AA+tan⁡BB+tan⁡CC2tan⁡Atan⁡Btan⁡C+12(A+B+C)=−12H+32G より、
H+2J=3G となる。

(2)

JH→=H−J=H+2J−3J=3G−3J=3(G−J)=3JG→ となるので題意は成り立つ。
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重心・垂心・外心の関係
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