重心・垂心・外心の関係
重心・垂心・外心の関係
\[ \boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G} \] の関係がある。
\[ \overrightarrow{JH}=3\overrightarrow{JG} \] の関係がある。
(1)
重心\(G\)、垂心\(H\)、外心\(J\)には\[ \boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G} \] の関係がある。
(2)オイラー線
重心\(G\)、垂心\(H\)、外心\(J\)は一直線上にあり、この直線をオイラー線といい、\[ \overrightarrow{JH}=3\overrightarrow{JG} \] の関係がある。
(1)
\begin{align*} \boldsymbol{J} & =\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\\ & =\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{4\sin A\sin B\sin C}\\ & =2\frac{\sin A\cos A\boldsymbol{A}+\sin B\cos B\boldsymbol{B}+\sin C\cos C\boldsymbol{C}}{4\sin A\sin B\sin C}\\ & =\frac{\sin A\cos\left(\pi-\left(B+C\right)\right)\boldsymbol{A}+\sin B\cos\left(\pi-\left(A+C\right)\right)\boldsymbol{B}+\sin C\cos\left(\pi-\left(A+B\right)\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\cos\left(B+C\right)\boldsymbol{A}+\sin B\cos\left(A+C\right)\boldsymbol{B}+\sin C\cos\left(A+B\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\left(\cos B\cos C-\sin B\sin C\right)\boldsymbol{A}+\sin B\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right)\boldsymbol{B}+\sin C\left(\cos A\cos B-\sin A\sin B\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\cos B\cos C\boldsymbol{A}+\sin B\cos A\cos C\boldsymbol{B}+\sin C\cos A\cos B\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}\right)\\ & =-\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{2\tan A\tan B\tan C}+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\boldsymbol{H}+\frac{3}{2}\boldsymbol{G} \end{align*} より、\[ \boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G} \] となる。
(2)
\begin{align*} \overrightarrow{JH} & =\boldsymbol{H}-\boldsymbol{J}\\ & =\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}-3\boldsymbol{J}\\ & =3\boldsymbol{G}-3\boldsymbol{J}\\ & =3\left(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{J}\right)\\ & =3\overrightarrow{JG} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 重心・垂心・外心の関係 |
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5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
円に外接する4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2}
\]
3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]
トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]