フィボナッチ数列の母関数
フィボナッチ数列の母関数
フィボナッチ数列の母関数は次のようになります。
\[ \sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}} \]
フィボナッチ数列の母関数は次のようになります。
\[ \sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}} \]
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k} & =F_{0}x^{0}+F_{1}x^{1}+\sum_{k=2}^{\infty}F_{k}x^{k}\\
& =F_{0}x^{0}+F_{1}x^{1}+\sum_{k=2}^{\infty}\left(F_{k-1}+F_{k-2}\right)x^{k}\cmt{\because F_{k}=F_{k-1}+F_{k-2}}\\
& =F_{0}+F_{1}x+x\sum_{k=1}^{\infty}F_{k}x^{k}+x^{2}\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}\\
& =F_{0}+F_{1}x+x\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}-xF_{0}+x^{2}\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}\\
& =F_{0}+\left(-F_{0}+F_{1}\right)x+\left(x+x^{2}\right)\LHS\\
& =\frac{x}{1-x-x^{2}}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | フィボナッチ数列の母関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwho9qwz/ |
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カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[
F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}
\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n}\\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。