(0)

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k} & =x\frac{1}{1-x-x^{2}}\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}C\left(k,j\right)x^{k+j}\cmt{\because x+xy<1\rightarrow\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}C\left(j,k\right)x^{j}y^{k}=\left(1-x-xy\right)^{-1}}\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}C\left(k-j,j\right)x^{k}\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}C\left(k-j,j\right)x^{k}\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\left\lfloor \frac{k}{2}\right\rfloor }C\left(k-j,j\right)x^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^{\left\lfloor \frac{k}{2}\right\rfloor }C(k-j-1,j)x^{k} \end{align*} これより、
\[ F_{k+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor \frac{k}{2}\right\rfloor }C(k-j,j) \] となり、\(k=0,-1\)でも成り立つので題意は成り立つ。

(0)-2

\(n\)段の階段を1段または2段ずつ登るとき、\(F_{n+1}\)通りの登り方がある。
これを違う方法で考える。2段を\(k\)回昇るとき、合計で\(n-2k+k=n-k\)回登らなくてはいけなく、その場合の数は\(C(n-k,k)\)となる。\(k\)の範囲は\(0\)から\(\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \)なので\(\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C(n-k,k)\)となる。

(0)-3

○と×を×が連続しないように\(n-1\)個並べる方法は\(F_{n+1}\)通りある。これを違う方法で考える。×の個数を\(k\)とすると×が連続しないように間に○を\(k-1\)個入れる必要があるので、\(C\left(n-\left(k-1\right),k\right)\)通りある。\(n-1-k-\left(k-1\right)\geq0\)でないといけないので\(k\)の範囲は0から\(\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \)となり、\(\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(\left(n-1\right)-\left(k-1\right),k\right)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)\)通りになる。