フィボナッチ数列の商の極限
フィボナッチ数列の商の極限
フィボナッチ数列の商の極限は、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi \] となる。
\(\phi\)は黄金数\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)である。
この値はフィボナッチ数列の初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
フィボナッチ数列の商の極限は、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi \] となる。
\(\phi\)は黄金数\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)である。
この値はフィボナッチ数列の初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{F_{n-1}}{F_{n}}\right)\\
& =1+\LHS^{-1}\\
& =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
& =\phi
\end{align*}
この値はフィボナッチ数列の漸化式のみで出てくるので、初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
従って題意は成り立つ。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | フィボナッチ数列の商の極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/i4whaq1j/ |
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カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[
F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}
\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[
F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}
\]