フィボナッチ数列の商の極限

by nomura · 2024年12月2日

フィボナッチ数列の商の極限
フィボナッチ数列の商の極限は、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi \] となる。
$\phi$は黄金数$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$である。
この値はフィボナッチ数列の初期値$F_{0},F_{1}$に依らない。

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{F_{n-1}}{F_{n}}\right)\\ & =1+\LHS^{-1}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ & =\phi \end{align*} この値はフィボナッチ数列の漸化式のみで出てくるので、初期値$F_{0},F_{1}$に依らない。
従って題意は成り立つ。