(1)

$0<m$のとき

$$\begin{array}{rl}gcd(F_m,F_{m+1})& =gcd(F_m,F_m+F_{m-1})\\ & =gcd(F_m,F_{m-1})\\ & =gcd(F_{m-1},F_m)\\ & =\mathrm{LHS}(m\to m-1)\\ & =gcd(F_1,F_2)\\ & =1\end{array}$$ なので成り立つ。

$m=0$のとき

$$\begin{array}{rl}gcd(F_0,F_1)& =gcd(0,1)\\ & =1\end{array}$$ なので成り立つ。

$m<0$のとき

$0<m$のときの結果を使うと、
$$\begin{array}{rl}gcd(F_m,F_{m+1})& =gcd({(-1)}^{m+1}{F}_{-m},{(-1)}^{m+2}{F}_{-(m+1)})\\ & =gcd(F_{-m},F_{-(m+1)})\\ & =1\end{array}$$ なので成り立つ。

-

これらより、任意の$m\in \mathbb{Z}$について成り立つので与式は成り立つ。

(2)

$F_1$と$F_m$の最大公約数は
$$\begin{array}{rl}gcd(F_1,F_m)& =gcd(1,F_m)\\ & =F_m\end{array}$$ となる。
フィボナッチ数列の加法定理
$$F_{m+n}=F_{m-1}{F}_n+F_m{F}_{n+1}$$ より、
$$\begin{array}{rl}gcd(F_m,F_n)& =gcd(F_m,F_{m+(n-m)})\\ & =gcd(F_m,F_{m-1}{F}_{n-m}+F_m{F}_{n-m+1})\\ & =gcd(F_m,F_{m-1}{F}_{n-m})\\ & =gcd(F_m,F_{n-m})\because gcd(F_m,F_{m+1})=1\\ & =gcd(F_{gcd(m,n)},F_{gcd(m,n)})(\because gcd(F_1,F_m)=F_m,gcd(F_m,F_n)=gcd(F_m,F_{n-m}))\\ & =F_{gcd(m,n)}\end{array}$$ となるので与式は成り立つ。