ベルヌーイ多項式の指数型母関数

by nomura · 2025年1月8日

ベルヌーイ多項式の指数型母関数
ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)の指数型母関数は次のようになる。
\[ \sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1} \]

\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}B_{j}\left(x\right)\frac{t^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)B_{k}x^{j-k}\frac{t^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)B_{k}x^{j-k}\frac{t^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}x^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}C\left(j,k\right)\frac{\left(xt\right)^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}x^{-k}\frac{\left(xt\right)^{k}e^{xt}}{k!}\\ & =e^{xt}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}t^{k}\\ & =e^{xt}\frac{t}{e^{t}-1}\\ & =\frac{te^{xt}}{e^{t}-1} \end{align*}