(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
ベルヌーイ多項式と下降階乗
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)と下降階乗の間には次の関係がある。
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)と下降階乗の間には次の関係がある。
(1)第2種スターリング数
\[ B_{n+1}\left(x\right)=B_{n+1}+\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{2}\left(n,k\right)P\left(x,k+1\right) \](2)第1種スターリング数
\[ P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right) \]-
\(S_{1}\left(n,k\right)\)は第1種スターリング数\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
略
ページ情報
| タイトル | (*)ベルヌーイ多項式と下降階乗 |
| URL | https://www.nomuramath.com/b7g4hlbx/ |
| SNSボタン |
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
\[
B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right)
\]
ベルヌーイ多項式の定義
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}
\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}
\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}
\]