オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
オイラー数・セカント数・タンジェント数を次で定義する。
\[ \cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \] 次と同値である。
\[ \frac{2e^{t}}{e^{2t}+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \]
\[ \cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{E}_{k}}{k!}x^{k} \] オイラー数とセカント数の関係は
\[ E_{2k}=\left(-1\right)^{k}\hat{E}_{2k} \] となる。
\[ \tan x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{T_{k}}{k!}x^{k} \]
オイラー数・セカント数・タンジェント数を次で定義する。
(1)オイラー数
オイラー数\(E_{k}\)は次で定義される。\[ \cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \] 次と同値である。
\[ \frac{2e^{t}}{e^{2t}+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \]
(2)セカント数
セカント数\(\hat{E}_{k}\)は次で定義される。\[ \cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{E}_{k}}{k!}x^{k} \] オイラー数とセカント数の関係は
\[ E_{2k}=\left(-1\right)^{k}\hat{E}_{2k} \] となる。
(3)タンジェント数
タンジェント数\(T_{k}\)は次で定義される。\[ \tan x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{T_{k}}{k!}x^{k} \]
\(\cosh^{-1}x\)も\(\cos^{-1}x\)も遇関数なのでオイラー数もセカント数も奇数項は0になる。
すなわち、\(n\in\mathbb{N}\)として、
\[ E_{2n-1}=0 \] \[ \hat{E}_{2n-1}=0 \] となる。
\[ E_{k}=i^{k}\hat{E}_{k} \] となる。
また、偶数項のみを考えると、
\begin{align*} E_{2k} & =i^{2k}\hat{E}_{2k}\\ & =\left(-1\right)^{k}\hat{E}_{2k} \end{align*} となる。
また、
\[ \hat{E}_{2k}>0 \] が成り立つ。
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline n & E_{n} & T_{n}\\ \hline 0 & 1 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1\\ \hline 2 & -1 & 0\\ \hline 3 & 0 & 2\\ \hline 4 & 5 & 0\\ \hline 5 & 0 & 16\\ \hline 6 & -61 & 0\\ \hline 7 & 0 & 272\\ \hline 8 & 1,385 & 0\\ \hline 9 & 0 & 7,936\\ \hline 10 & -50,521 & 0\\ \hline 11 & 0 & 353,792\\ \hline 12 & 2,702,765 & 0\\ \hline 13 & 0 & 22,368,256\\ \hline 14 & -199,360,981 & 0\\ \hline 15 & 0 & 1,903,757,312\\ \hline 16 & 19,391,512,145 & 0\\ \hline 17 & 0 & 209,865,342,976\\ \hline 18 & -2,404,879,675,441 & 0\\ \hline 19 & 0 & 29,088,885,112,832\\ \hline 20 & 370,371,188,237,525 & 0\\ \hline 21 & 0 & 4,951,498,053,124,096\\ \hline 22 & -69,348,874,393,137,901 & 0\\ \hline 23 & 0 & 1,015,423,886,506,852,352\\ \hline 24 & 15,514,534,163,557,086,905 & 0\\ \hline 25 & 0 & 246,921,480,190,207,983,616\\ \hline 26 & -4,087,072,509,293,123,892,361 & 0\\ \hline 27 & 0 & 70,251,601,603,943,959,887,872\\ \hline 28 & 1,252,259,641,403,629,865,468,285 & 0\\ \hline 29 & 0 & 23,119,184,187,809,597,841,473,536\\ \hline 30 & -441,543,893,249,023,104,553,682,821 & 0 \\\hline \end{array} \]
すなわち、\(n\in\mathbb{N}\)として、
\[ E_{2n-1}=0 \] \[ \hat{E}_{2n-1}=0 \] となる。
-
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}z^{k} & =\cosh^{-1}z\\ & =\cos^{-1}\left(iz\right)\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{E}_{k}}{k!}\left(iz\right)^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{k}\hat{E}_{k}}{k!}z^{k} \end{align*} となるので係数を比較して、\[ E_{k}=i^{k}\hat{E}_{k} \] となる。
また、偶数項のみを考えると、
\begin{align*} E_{2k} & =i^{2k}\hat{E}_{2k}\\ & =\left(-1\right)^{k}\hat{E}_{2k} \end{align*} となる。
また、
\[ \hat{E}_{2k}>0 \] が成り立つ。
-
オイラー数とタンジェント数一覧\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline n & E_{n} & T_{n}\\ \hline 0 & 1 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1\\ \hline 2 & -1 & 0\\ \hline 3 & 0 & 2\\ \hline 4 & 5 & 0\\ \hline 5 & 0 & 16\\ \hline 6 & -61 & 0\\ \hline 7 & 0 & 272\\ \hline 8 & 1,385 & 0\\ \hline 9 & 0 & 7,936\\ \hline 10 & -50,521 & 0\\ \hline 11 & 0 & 353,792\\ \hline 12 & 2,702,765 & 0\\ \hline 13 & 0 & 22,368,256\\ \hline 14 & -199,360,981 & 0\\ \hline 15 & 0 & 1,903,757,312\\ \hline 16 & 19,391,512,145 & 0\\ \hline 17 & 0 & 209,865,342,976\\ \hline 18 & -2,404,879,675,441 & 0\\ \hline 19 & 0 & 29,088,885,112,832\\ \hline 20 & 370,371,188,237,525 & 0\\ \hline 21 & 0 & 4,951,498,053,124,096\\ \hline 22 & -69,348,874,393,137,901 & 0\\ \hline 23 & 0 & 1,015,423,886,506,852,352\\ \hline 24 & 15,514,534,163,557,086,905 & 0\\ \hline 25 & 0 & 246,921,480,190,207,983,616\\ \hline 26 & -4,087,072,509,293,123,892,361 & 0\\ \hline 27 & 0 & 70,251,601,603,943,959,887,872\\ \hline 28 & 1,252,259,641,403,629,865,468,285 & 0\\ \hline 29 & 0 & 23,119,184,187,809,597,841,473,536\\ \hline 30 & -441,543,893,249,023,104,553,682,821 & 0 \\\hline \end{array} \]
ページ情報
| タイトル | オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義 |
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2項変換とオイラー数
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}
\]
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}
\]
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[
\begin{cases}
T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\
T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}
\end{cases}
\]
オイラー数の総和
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}
\]