(1)

オイラー数の定義
\[ \cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \] において、\(x\)について遇関数なので、
\[ \cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k} \] となるので
\begin{align*} 1 & =\cosh x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{x^{j}}{j!}+\frac{\left(-x\right)^{j}}{j!}\right)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{j}}{j!}\left(1+\left(-1\right)^{j}\right)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{2j}}{\left(2j\right)!}\left(1+\left(-1\right)^{2j}\right)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{2j}}{\left(2j\right)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2k\right)!}x^{2k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{2k}}{\left(2j\right)!\left(2k\right)!}x^{2\left(j+k\right)}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\frac{E_{2k}}{\left(2\left(j-k\right)\right)!\left(2k\right)!}x^{2j}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{2j}}{\left(2j\right)!}\sum_{k=0}^{j}C\left(2j,2k\right)E_{2k} \end{align*} となり左辺は、
\[ 1=\sum_{j=0}^{\infty}\delta_{0,j}x^{2j} \] となるので係数を比較すると、
\begin{align*} \delta_{0,j} & =\left(2j\right)!\delta_{0,j}\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(2j,2k\right)E_{2k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)

オイラー多項式の総和、
\[ \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)+E_{n}\left(x\right)=2x^{n} \] に、\(x=\frac{1}{2}\)を代入して、
\begin{align*} 2\cdot2^{-n} & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(\frac{1}{2}\right)+E_{n}\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}+\frac{E_{n}}{2^{n}}\\ & =2^{-n}\left(\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k-n}}+E_{n}\right)\\ & =2^{-n}\left(\sum_{k=0}^{n}C\left(n,n-k\right)\frac{E_{n-k}}{2^{n-k-n}}+E_{n}\right)\cmt{n\rightarrow n-k}\\ & =2^{-n}\left(\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)2^{k}E_{n-k}+E_{n}\right) \end{align*} となるので、両辺に\(2^{n}\)を掛けて
\[ \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)2^{k}E_{n-k}+E_{n}=2 \] となる。
従って与式は成り立つ。