(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
オイラー多項式\(E_{n}\left(x\right)\)とベルヌーイ数\(B_{n}\)・ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)との間には次の関係がある。
\begin{align*} E_{n-1}\left(x\right) & =\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}\\ & =\frac{2}{n}B_{n}\left(x\right)-\frac{2^{n+1}}{n}B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\\ & =\frac{2^{n}}{n}\left(B_{n}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\right) \end{align*}
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
オイラー多項式\(E_{n}\left(x\right)\)とベルヌーイ数\(B_{n}\)・ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)との間には次の関係がある。
\begin{align*} E_{n-1}\left(x\right) & =\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}\\ & =\frac{2}{n}B_{n}\left(x\right)-\frac{2^{n+1}}{n}B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\\ & =\frac{2^{n}}{n}\left(B_{n}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\right) \end{align*}
-
\[ E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k} \] の証明は略。-
\begin{align*} E_{n-1}\left(x\right) & =\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}\\ & =\frac{2}{n}\left(\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)2^{k}B_{k}x^{n-k}\right)\\ & =\frac{2}{n}\left(B_{n}\left(x\right)-2^{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}\left(\frac{x}{2}\right)^{n-k}\right)\\ & =\frac{2}{n}\left(B_{n}\left(x\right)-2^{n}B_{n}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\\ & =\frac{2}{n}B_{n}\left(x\right)-\frac{2^{n+1}}{n}B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right) \end{align*}-
\begin{align*} E_{n-1}\left(x\right) & =\frac{2}{n}B_{n}\left(x\right)-\frac{2^{n+1}}{n}B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\\ & =\frac{2}{n}\cdot2^{n-1}\left(B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)+B_{n}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\right)-\frac{2^{n+1}}{n}B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\\ & =\frac{2^{n}}{n}\left(B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)+B_{n}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-2B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\right)\\ & =\frac{2^{n}}{n}\left(B_{n}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-B_{n}\left(\frac{1}{2}x\right)\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | (*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ml1d3th1/ |
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オイラー多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}
\]
オイラー多項式の性質
\[
E_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の微分・積分
\[
E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の総和
\[
E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k}
\]