反復積分に関するコーシーの公式
反復積分に関するコーシーの公式
積分
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1} \] は、
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt \] と表すことができる。
積分
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1} \] は、
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt \] と表すことができる。
\(n=1\)のとき
\begin{align*} f^{\left(-1\right)}\left(x\right) & =\int_{a}^{x}f\left(y\right)dy\\ & =\left[\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f\left(y\right)dy\right]_{n=1} \end{align*} となるので成り立つ。\(n=k+1\)のとき、
\(n=k\)のとき成り立つと仮定する\(n=k+1\)のとき
\begin{align*} f^{\left(-k+1\right)}\left(x\right) & =\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{k}}f\left(y_{k+1}\right)dy_{k+1}\cdots dy_{1}\\ & =\frac{1}{\left(k-1\right)!}\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\left(y_{1}-y_{2}\right)^{k-1}f\left(y_{2}\right)dy_{2}dy_{1}\\ & =\frac{1}{\left(k-1\right)!}\int_{a}^{x}\int_{y_{2}}^{x}\left(y_{1}-y_{2}\right)^{k-1}f\left(y_{2}\right)dy_{1}dy_{2}\\ & =\frac{1}{k!}\int_{a}^{x}\left(x-y_{2}\right)^{k}f\left(y_{2}\right)dy_{2} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成り立つ。
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故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 反復積分に関するコーシーの公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x1bmgb8u/ |
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微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]