畳み込みの定義

by nomura · 2025年2月10日

畳み込みの定義

(1)畳み込み積分

関数$f\left(x\right),g\left(x\right)$があるとき、関数
\begin{align*} \left(f*g\right)\left(x\right) & =\left(f\left(x\right)*g\left(x\right)\right)\left(x\right)\\ & =\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt \end{align*} を畳み込み・畳み込み積分・合成積といいます。
積分範囲は通常は$\left(-\infty,\infty\right)$で定義されます。

(2)畳み込み和

数列$a_{n},b_{n}$,$n\in\mathbb{N}_{0}$があるとき、数列
\begin{align*} \left(a*b\right)_{n} & =\left(a_{n}*b_{n}\right)_{n}\\ & =\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k} \end{align*} を畳み込み・畳み込み和・合成和といいます。

畳み込み和は数列を$a_{n},b_{n}$,$n\in\mathbb{N}$とするときは総和は1から$n$となり、そのときは、
\[ \left(a*b\right)_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k} \] となります。

(1)

$f\left(x\right)=x,g\left(x\right)=e^{-x^{2}}$とすると、
\begin{align*} \left(f*g\right)\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}te^{-\left(x-t\right)^{2}}dt\\ & =-\int_{\infty}^{-\infty}\left(x-y\right)e^{-y^{2}}dy\cmt{y=x-t}\\ & =x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy-\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-y^{2}}dy\\ & =x\sqrt{\pi}-\frac{-1}{2}\left[e^{-y^{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}-\\ & =x\sqrt{\pi} \end{align*} となる。

(2)

$n\in\mathbb{N}$として$a_{n}=\frac{1}{n},b_{n}=n$とすると、
\begin{align*} \left(a*b\right)_{n} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\left(n+1-k\right)\\ & =\left(n+1\right)\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n}1\\ & =\left(n+1\right)H_{n}-n \end{align*} となる。