フーリエ級数でのパーセバルの定理
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\(A\left(x\right),B\left(x\right)\)を閉区間\(\left[-\pi,\pi\right]\)で2乗可積分としてフーリエ級数を
\[ A\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{imx} \] \[ B\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}b_{m}e^{imx} \] とする。
このとき次が成り立つ。
\(A\left(x\right),B\left(x\right)\)を閉区間\(\left[-\pi,\pi\right]\)で2乗可積分としてフーリエ級数を
\[ A\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{imx} \] \[ B\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}b_{m}e^{imx} \] とする。
このとき次が成り立つ。
(1)
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx \](2)
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|A\left(x\right)\right|^{2}dx \]周期\(L\)の場合は、
\begin{align*} \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx & =\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\overline{b_{n}}e^{-i\frac{2\pi}{L}nx}dx\\ & =\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}e^{i\frac{2\pi}{L}\left(m-n\right)x}dx\\ & =\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m-n\right)y}dy\cmt{\frac{2\pi}{L}x=y}\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\delta_{m,n}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}} \end{align*} となります。
\begin{align*} \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx & =\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\overline{b_{n}}e^{-i\frac{2\pi}{L}nx}dx\\ & =\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}e^{i\frac{2\pi}{L}\left(m-n\right)x}dx\\ & =\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m-n\right)y}dy\cmt{\frac{2\pi}{L}x=y}\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\delta_{m,n}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}} \end{align*} となります。
(1)
\begin{align*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{imx}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\overline{b_{n}}e^{-inx}dx\\ & =\frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m-n\right)x}dx\\ & =\frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{m}\overline{b_{n}}\cdot2\pi\delta_{m,n}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。(2)
(1)で\(B\left(x\right)=A\left(x\right)\)とすればいい。
ページ情報
| タイトル | フーリエ級数でのパーセバルの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wl8754e6/ |
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複素フーリエ級数
\[
c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx
\]
3角関数・指数関数の直交性
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}
\]
実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]
複素フーリエ係数の関係
\[
c_{-n}=\overline{c_{n}}
\]