実フーリエ級数

複素フーリエ級数より、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{-1}c_{n}e^{inx}+c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{k}e^{inx}\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}e^{-inx}+c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{k}e^{inx}\\ & =c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}\right)\\ & =c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(c_{n}+c_{-n}\right)\cos\left(nx\right)+i\left(c_{n}-c_{-n}\right)\sin\left(nx\right)\right) \end{align*} となる。
これより、与式と係数を比較すると、
\begin{align*} a_{0} & =2c_{0}\\ & =2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\left(0x\right)dx \end{align*} となり、\(n\in\mathbb{N}\)のとき、\(a_{n}\)は
\begin{align*} a_{n} & =c_{n}+c_{-n}\\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\left(nx\right)dx \end{align*} となるで\(n\in\mathbb{N}_{0}\)で\(a_{n}\)は
\[ a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\left(nx\right)dx \] となる。
また、\(n\in\mathbb{N}\)のとき、\(b_{n}\)は、
\begin{align*} b_{n} & =i\left(c_{n}-c_{-n}\right)\\ & =i\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\right)\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin\left(nx\right)dx \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。