フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
区分的に滑らかな関数\(f\left(x\right)\)が絶対可積分、すなわち、
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|dx<\infty \] となるとき、フーリエ変換を次で定義する。
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \] フーリエ変換した関数を\(F\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\)とすると、このときフーリエ逆変換は、
\[ \mathcal{F}_{\xi}^{\bullet}\left[F\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi \] となり、フーリエ変換してフーリエ逆変換すると元に戻る。
すなわち、
\[ \mathcal{F}_{k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
区分的に滑らかな関数\(f\left(x\right)\)が絶対可積分、すなわち、
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|dx<\infty \] となるとき、フーリエ変換を次で定義する。
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \] フーリエ変換した関数を\(F\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\)とすると、このときフーリエ逆変換は、
\[ \mathcal{F}_{\xi}^{\bullet}\left[F\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi \] となり、フーリエ変換してフーリエ逆変換すると元に戻る。
すなわち、
\[ \mathcal{F}_{k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
\(f\left(x\right)\)をフーリエ変換したのものを\(F\left(\xi\right),F\left(k\right),F\left(\nu\right)\)などでも表す。
フーリエ変換とフーリエ逆変換は、
\[ \begin{cases} f\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi\\ F\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \end{cases} \] \[ \begin{cases} f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F\left(k\right)e^{ikx}dk\\ F\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx \end{cases} \] \[ \begin{cases} f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\nu\right)e^{i\nu x}d\nu\\ F\left(\nu\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx \end{cases} \] の3種類で定義されることがある。
\begin{align*} \mathcal{F}_{1,k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\right]\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-2\pi i\xi x'}dx'e^{2\pi i\xi x}d\xi\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\xi\left(x-x'\right)}d\xi dx'\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\delta\left(x-x'\right)dx'\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\delta\left(x'-x\right)dx'\\ & =f\left(x\right) \end{align*} となり元に戻る。
フーリエ変換とフーリエ逆変換は、
\[ \begin{cases} f\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi\\ F\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \end{cases} \] \[ \begin{cases} f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F\left(k\right)e^{ikx}dk\\ F\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx \end{cases} \] \[ \begin{cases} f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\nu\right)e^{i\nu x}d\nu\\ F\left(\nu\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx \end{cases} \] の3種類で定義されることがある。
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実際にフーリエ変換をしてフーリエ逆変換をすると、\begin{align*} \mathcal{F}_{1,k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\right]\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-2\pi i\xi x'}dx'e^{2\pi i\xi x}d\xi\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\xi\left(x-x'\right)}d\xi dx'\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\delta\left(x-x'\right)dx'\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)\delta\left(x'-x\right)dx'\\ & =f\left(x\right) \end{align*} となり元に戻る。
区分的に滑らかなので\(f\left(x\right)\)はフーリエ級数展開でき、周期\(L\)のフーリエ級数は
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
これより、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{L\rightarrow\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\lim_{L\rightarrow\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\lim_{L\rightarrow\infty}\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \end{align*} となり、\(k_{m}=\frac{2\pi m}{L}\)とおくと、\(k_{m+1}-\omega_{m}=\frac{2\pi}{L}\)なので、
\[ \frac{1}{L}=\frac{k_{m+1}-k_{m}}{2\pi} \] となり、\(L\rightarrow\infty\)のとき\(k_{m+1}-k_{m}\rightarrow dk\)とおくと、
\begin{align*} \frac{1}{L} & =\frac{k_{m+1}-k_{m}}{2\pi}\\ & =dk \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{L\rightarrow\infty}\frac{1}{L}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\frac{dk}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ik_{m}x'}dx'e^{ik_{m}x}\\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk \end{align*} となる。
従って、
\[ \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx \] \[ \mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[f\left(k\right)\right]\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(k\right)e^{ikx}dk \] とおくと、\(f\left(x\right)\)は絶対可積分なので\(\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right),\mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[f\left(k\right)\right]\left(x\right)\)は発散せずに、
\[ \mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
また、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-2\pi i\xi x'}dx'\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi\cmt{k=2\pi\xi} \end{align*} として、
\[ \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \] \[ \mathcal{F}_{1,\xi}^{\bullet}\left[f\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi \] とおくと、
\[ \mathcal{F}_{1,\xi}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
これより、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{L\rightarrow\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\lim_{L\rightarrow\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\lim_{L\rightarrow\infty}\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \end{align*} となり、\(k_{m}=\frac{2\pi m}{L}\)とおくと、\(k_{m+1}-\omega_{m}=\frac{2\pi}{L}\)なので、
\[ \frac{1}{L}=\frac{k_{m+1}-k_{m}}{2\pi} \] となり、\(L\rightarrow\infty\)のとき\(k_{m+1}-k_{m}\rightarrow dk\)とおくと、
\begin{align*} \frac{1}{L} & =\frac{k_{m+1}-k_{m}}{2\pi}\\ & =dk \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{L\rightarrow\infty}\frac{1}{L}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x'\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx'}dx'e^{i\frac{2\pi}{L}mx}\\ & =\frac{dk}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ik_{m}x'}dx'e^{ik_{m}x}\\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk \end{align*} となる。
従って、
\[ \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx \] \[ \mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[f\left(k\right)\right]\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(k\right)e^{ikx}dk \] とおくと、\(f\left(x\right)\)は絶対可積分なので\(\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right),\mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[f\left(k\right)\right]\left(x\right)\)は発散せずに、
\[ \mathcal{F}_{2,k}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
また、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-ikx'}dx'\right)e^{ikx}dk\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x'\right)e^{-2\pi i\xi x'}dx'\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi\cmt{k=2\pi\xi} \end{align*} として、
\[ \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx \] \[ \mathcal{F}_{1,\xi}^{\bullet}\left[f\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi \] とおくと、
\[ \mathcal{F}_{1,\xi}^{\bullet}\left[\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\right]\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rv129gfy/ |
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フーリエ変換の定義による違い
\[
\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)
\]
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi
\]
フーリエ変換の性質
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]