フーリエ変換でのパーセバルの等式

by nomura · 2025年3月3日

フーリエ変換でのパーセバルの等式
関数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)をフーリエ変換したものを\(F\left(\xi\right),G\left(\xi\right)\)とする。
次の関係をパーセバルの等式という。

(1)

\[ \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx=\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)\overline{G\left(\xi\right)}d\xi \]

(2)

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\left|g\left(x\right)\right|^{2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\left|F\left(\xi\right)\right|^{2}d\xi \]

-

フーリエ変換の定義による違い
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline F_{1}\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi ix\xi}dx & F_{2}\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ixk}dx & F_{3}\left(\nu\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ix\nu}d\xi\\ \hline \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx=\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}\left(\xi\right)\overline{G_{1}\left(\xi\right)}d\xi & \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{2}\left(\xi\right)\overline{G_{2}\left(\xi\right)}d\xi & \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx=\int_{-\infty}^{\infty}F_{3}\left(\xi\right)\overline{G_{3}\left(\xi\right)}d\xi\\ \hline \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\left|F_{1}\left(\xi\right)\right|^{2}d\xi & \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|F_{2}\left(\xi\right)\right|^{2}d\xi & \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\left|F_{3}\left(\xi\right)\right|^{2}d\xi \\\hline \end{array} \]

-

(1)は関数の内積を使って次でも表されます。
\[ \left\langle f\left(x\right)\mid g\left(x\right)\right\rangle =\left\langle \mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\omega\right)\mid\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\omega\right)\right\rangle \]

(1)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}\overline{g\left(x\right)}\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)e^{2\pi i\xi x}d\xi dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)\int_{-\infty}^{\infty}\overline{g\left(x\right)}e^{2\pi i\xi x}dxd\xi\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)\overline{\left(\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\right)}d\xi\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}F\left(\xi\right)\overline{G\left(\xi\right)}d\xi \end{align*}