区分的に連続と区分的に滑らかの定義

by nomura · 2025年3月11日

区分的に連続と区分的に滑らかの定義
区分的に連続と区分的に滑らかは次で定義される。

(1)区分的に連続

関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{0}\)級(\(f\left(x\right)\)が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。

(2)区分的に滑らか

関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{1}\)級(導関数が存在し導関数が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)と\(f'\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。

符号関数\(\sgn\left(x\right)\)、ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は区分的に連続であり、区分的に滑らかである。
\(\left|\sin x\right|\)は区分的に連続であるが、\(\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots\)と無限の点で導関数が不連続なので区分的に滑らかではない。