ディリクレ核の定義と別表示
ディリクレ核の定義と別表示
ディリクレ核を以下で定義する。
\[ D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} \] ディリクレ核は次のような別表示がある。
ディリクレ核を以下で定義する。
\[ D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} \] ディリクレ核は次のような別表示がある。
(1)
\[ D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}\cos\left(kx\right) \](2)
\[ D_{n}\left(x\right)=1+2\sum_{k=1}^{n}\cos\left(kx\right) \](3)
\[ D_{n}\left(x\right)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \](1)
\begin{align*} D_{n}\left(x\right) & =\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\\ & =\sum_{k=-n}^{n}\left\{ \cos\left(kx\right)+i\sin\left(kx\right)\right\} \\ & =\sum_{k=-n}^{n}\cos\left(kx\right)+i\sum_{k=-n}^{n}\sin\left(kx\right)\\ & =\sum_{k=-n}^{n}\cos\left(kx\right)+i\left(\sum_{k=-n}^{-1}\sin\left(kx\right)+0+\sum_{k=1}^{n}\sin\left(kx\right)\right)\\ & =\sum_{k=-n}^{n}\cos\left(kx\right)+i\left(-\sum_{k=1}^{n}\sin\left(kx\right)+\sum_{k=1}^{n}\sin\left(kx\right)\right)\\ & =\sum_{k=-n}^{n}\cos\left(kx\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} D_{n}\left(x\right) & =\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\\ & =\sum_{k=-n}^{-1}e^{ikx}+1+\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}\\ & =1+\sum_{k=1}^{n}\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)\\ & =1+2\sum_{k=1}^{n}\cos\left(kx\right) \end{align*}(3)
\[ \begin{align*}D_{n}\left(x\right) & =\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\\ & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\ & =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\ & =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\ & =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\ & =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\ & =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \end{align*} \]
ページ情報
| タイトル | ディリクレ核の定義と別表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/eh1cr2rp/ |
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ディリクレ核の性質
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)
\]