3角形関数の定義
3角形関数の定義
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次で定義される。
\begin{align*} \mathrm{tri}\left(x\right) & :=\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1-\left|x\right| & \left|x\right|<1\\ 0 & 1\leq\left|x\right| \end{cases}\\ & =\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| \end{align*}
\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-1}^{1}\text{tri}\left(x\right)dx=1\)となります。
\begin{align*}
\frac{1}{2}\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\left|x-1\right|-\left|x\right| & =\begin{cases}
-\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & x<-1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)+x & -1\leq x<0\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 0\leq x<1\\
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(x-1\right)-x & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
0 & x<-1\\
x+1 & -1\leq x<0\\
-x+1 & 0\leq x<1\\
0 & 1\leq x
\end{cases}\\
& =\mathrm{tri}\left(x\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fo42rrdo/ |
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ζ(4k)の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi
\]
3角不等式
\[
\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|
\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
巾関数の積分表現
\[
\frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\]