(1)

矩形(くけい)関数は偶関数なので明らかに成り立つ。

(2)

\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right) & =\begin{cases} 1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2}<\left|x\right| \end{cases}\\ & =\mathrm{rect}\left(x\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \mathrm{rect}\left(\frac{x}{a}\right) & =H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{a}+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{2}\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(\left|a\right|\left(\frac{x}{a}+\frac{1}{2}\right)\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(\left|a\right|\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(\sgn\left(a\right)x+\frac{\left|a\right|}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(\sgn\left(a\right)x-\frac{\left|a\right|}{2}\right)\\ & =\begin{cases} H_{\frac{1}{2}}\left(-x-\frac{a}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(-x+\frac{a}{2}\right) & a<0\\ 0 & a=0\\ H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{a}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{a}{2}\right) & 0<a \end{cases}\\ & =\begin{cases} H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{a}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{a}{2}\right) & a<0\\ 0 & a=0\\ H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{a}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{a}{2}\right) & 0<a \end{cases}\\ & =\left|H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{a}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{a}{2}\right)\right| \end{align*} 途中で\(H_{\frac{1}{2}}\left(a\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(b\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(-b\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(-a\right)\)を使っている。

(4)

(3)より、
\begin{align*} \left|H_{\frac{1}{2}}\left(a\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(b\right)\right| & =\left|H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)\right|\\ & =\mathrm{rect}\left(\frac{a+b}{2\left(a-b\right)}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(5)

(4)より、
\begin{align*} \left|\sgn\left(a\right)-\sgn\left(b\right)\right| & =\left|2H_{\frac{1}{2}}\left(a\right)-1-\left(2H_{\frac{1}{2}}\left(b\right)-1\right)\right|\\ & =2\left|H_{\frac{1}{2}}\left(a\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(b\right)\right|\\ & =2\mathrm{rect}\left(\frac{a+b}{2\left(a-b\right)}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)

\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}+x\right) & =\begin{cases} 1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2}<\left|x\right| \end{cases}\\ & =\mathrm{rect}\left(x\right) \end{align*}

(7)

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\left|2x\right|^{n}} & =\begin{cases} 1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \left|x\right|=1\\ 0 & \frac{1}{2}<\left|x\right| \end{cases}\\ & =\mathrm{rect}\left(x\right) \end{align*}