多重階乗と拡張多重階乗の定義
多重階乗と拡張多重階乗の定義
\[ n!_{k}=\frac{\left(n+k\right)!_{k}}{n+k} \] で定義する。
(1)多重階乗
\(n>0\)のとき、
\[ n!_{k}=\begin{cases} 1 & -k<n\leq0\\ n\left(\left(n-k\right)!_{k}\right) & 0<n \end{cases} \] で定義する。\(n<0\)のとき
漸化式\(n!_{k}=n\left(\left(n-k\right)!_{k}\right)\)より、\[ n!_{k}=\frac{\left(n+k\right)!_{k}}{n+k} \] で定義する。
(2)拡張多重階乗
\[ \left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!} \]*
2つの定義は異なる定義です。ページ情報
| タイトル | 多重階乗と拡張多重階乗の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/a1cmrd5c/ |
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(拡張)多重階乗と階乗の関係
\[
\left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!}
\]
(拡張)多重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(ak+b\right)!_{a}}=\frac{e^{\frac{1}{a}}a^{\frac{b}{a}}\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)}{b!_{a}}\left(\frac{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1,\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a}\right)}\right)
\]
ウォリス積分の拡張2重階乗表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
多重階乗同士の関係
\[
\left(qn+r\right)!^{n}=r!^{n}\frac{\left(qn+r\right)!_{n}}{r!_{n}}
\]