(1)

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-x^{b}}dx & =\int_{0}^{\infty}e^{-y}\frac{1}{b}y^{\frac{1}{b}-1}dy\cmt{x^{b}=y}\\ & =\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}y^{\frac{1}{b}-1}e^{-y}dy\\ & =\frac{1}{b}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*}

(2)

(1)より、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{b}}dx & =\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{b}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{b}}dx\\ & =\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{b}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{b}}dx\\ & =-\int_{\infty}^{0}e^{-\left(-x\right)^{b}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{b}}dx\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-\left(-1\right)^{b}x^{b}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{b}}dx\\ & =\frac{1}{\left(\left(-1\right)^{b}\right)^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)+\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\\ & =\left(1+\left(\left(-1\right)^{b}\right)^{-\frac{1}{b}}\right)\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{b}}e^{-t}\frac{t^{\frac{1}{b}-1}}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}dt\cmt{t=\alpha x^{b}}\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\alpha\right|R^{b}e^{i\Arg\left(\alpha\right)}}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\cmt{\because0<\Re\left(\frac{1}{b}\right)\land-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\alpha\right)<\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)\\ & =\alpha^{-\frac{1}{b}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*}

(3)-2

\(0<\alpha\)のとき

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx & =\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{1}{b}-1}e^{-y}dy\cmt{\alpha x^{b}=y}\\ & =\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*}

\(1<b\)のとき

\(0<\Re\left(\alpha\right)\land\Im\left(\alpha\right)<0\)のとき、

このとき、\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\alpha\right)<0\)となり、\(1<b\)より\(0<-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}<\frac{\pi}{2}\)となる。
また\(0\leq x<\infty\)なので\(x=te^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\)とおくと\(1<b\)なので、\(x^{b}=\left(te^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\right)^{b}=t^{b}\left(e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\right)^{b}=t^{b}e^{b\Log\left(e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\right)}=t^{b}e^{-i\Arg\left(\alpha\right)}\)となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}}\exp\left(-\alpha x^{b}\right)e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}dt\cmt{x=te^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}}\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}}\exp\left(-\alpha t^{b}e^{-\Arg\left(\alpha\right)i}\right)dt\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}}\exp\left(-\left|\alpha\right|t^{b}\right)dt\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\int_{-C_{3}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\int_{C_{1}+C_{2}-C}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\left(\int_{C_{1}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz+\int_{C_{2}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz+\int_{-C}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\right) \end{align*} ここで積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は半径\(R\)を一定で\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\)とし、\(C_{3}\)は\(\mathit{\theta=\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}\)上で\(re^{i\theta}\)を\(r:R\rightarrow0\)である。
このとき、\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)として、\(C\)は\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{\beta}i}\rightarrow0\)を通り1週する。
右辺第1項は
\begin{align*} \int_{C_{1}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz & =-\int_{\infty}^{0}\exp\left(-\alpha R^{b}e^{-b\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\right)e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\left|\alpha\right|e^{\Arg\left(\alpha\right)i}R^{b}e^{-\Arg\left(\alpha\right)i}\right)dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\left|\alpha\right|R^{b}\right)dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\left|\alpha\right|R^{b}\right)dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\frac{1}{\sqrt[b]{\left|\alpha\right|}}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-R^{b}\right)dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-R^{b}\right)dR\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} 右辺第2項は、\(0<-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\leq\frac{\pi}{2b}\)であり、\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)では\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)なので、
\begin{align*} \left|\int_{C_{2}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\right| & =\left|-\int_{C_{2}}e^{-\alpha z^{b}}dz\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|-\int_{0}^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}}e^{-\alpha R^{b}e^{ib\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left|\int_{0}^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}e^{-\alpha R^{b}\left(\cos\left(b\theta\right)+i\sin\left(b\theta\right)\right)}e^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left|\int_{0}^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}}e^{R^{b}\left(-\Re\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)+\Im\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)-i\Im\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)-i\Re\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)\right)}e^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}\left|e^{R^{b}\left(-\Re\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)+\Im\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)-i\Im\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)-i\Re\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)\right)}e^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}\left|e^{R^{b}\left(-\Re\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)+\Im\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)\right)}\right|d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}e^{R^{b}\Im\left(\alpha\right)\sin\left(b\theta\right)}d\theta\cmt{\because0\leq\Re\left(\alpha\right)\cos\left(b\theta\right)}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}e^{-R^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\sin\left(b\theta\right)}d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}e^{-R^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\frac{2b}{\pi}\theta}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left[\frac{\pi}{-2bR^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}e^{-\frac{2b}{\pi}R^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\theta}\right]_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{-\pi}{2bR^{b-1}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left[e^{-\frac{2b}{\pi}R^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\theta}\right]_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}\right|}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2bR^{b-1}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left(1-e^{-\frac{2}{\pi}R^{b}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\left|\Arg\left(\alpha\right)\right|}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \int_{C_{2}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz=0 \] 右辺第3項は積分経路内に特異点はないので、
\[ \int_{-C}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\left(\int_{C_{1}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz+\int_{C_{2}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz+\int_{-C}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\right)\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\left(\int_{C_{1}}\exp\left(-\left|\alpha\right|z^{b}\right)dz\right)\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{b}i}\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*}

\(0<\Re\left(\alpha\right)\land\Im\left(\alpha\right)>0\)

同様にすれば、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \] となる。

\(0<b<1\)のとき

\(1<b\)で\(b\rightarrow\frac{1}{b}\)とすれば、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \] となる。

\(b=1\)のとき、

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}dx & =\frac{1}{-\alpha}\left[e^{-\alpha x}\right]_{0}^{\infty}\\ & =\frac{1}{\alpha}\\ & =\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} となる。

-

これらより、\(1<b\lor0<b<1\lor b=1\Leftrightarrow0<b\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\sqrt[b]{\alpha}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \] となり、これが成り立つのは、
\begin{align*} & 0<\alpha\lor\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\Im\left(\alpha\right)<0\right)\lor\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land0<\Im\left(\alpha\right)\right)\\ \Leftrightarrow & 0<\alpha\lor\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\Im\left(\alpha\right)=0\right)\lor\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & 0<\Re\left(\alpha\right)\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\lor\Im\left(\alpha\right)=0\right)\\ \Leftrightarrow & 0<\Re\left(\alpha\right) \end{align*} となる。
従って、\(0<\Re\left(\alpha\right)\land0<b\)で成り立つので題意は成り立つ。

(4)

(3)より、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx & =\int_{-\infty}^{0}e^{-\alpha x^{b}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx\\ & =-\int_{\infty}^{0}e^{-\alpha\left(-x\right)^{b}}dx+\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha\left(-1\right)^{b}x^{b}}dx+\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\\ & =\frac{1}{\left(\alpha\left(-1\right)^{b}\right)^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)+\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\\ & =\left(\alpha^{-\frac{1}{b}}+\left(\alpha\left(-1\right)^{b}\right)^{-\frac{1}{b}}\right)\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(5)

\(0\leq x<\infty\)なので\(t=-iax^{b}\)とおくと、\(a\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \)より\(\arg\left(-ia\right)=-\frac{\pi}{2}\sgn\left(a\right)\ne\pi\)なので、\(x=\left(x^{b}\right)^{\frac{1}{b}}=\left(\frac{t}{-ia}\right)^{\frac{1}{b}}=\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\left(-ia\right)^{\frac{1}{b}}}\)となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{iax^{b}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-iaR^{b}}e^{-t}\frac{t^{\frac{1}{b}-1}}{b\left(-ia\right)^{\frac{1}{b}}}dt\cmt{t=-iax^{b}}\\ & =\frac{1}{b\left|a\right|^{\frac{1}{b}}\left(-i\sgn\left(a\right)\right)^{\frac{1}{b}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-i\sgn\left(a\right)R}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{b\left|a\right|^{\frac{1}{b}}e^{\frac{1}{b}\Log\left(-i\sgn\left(a\right)\right)}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-i\sgn\left(a\right)R}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{b\left|a\right|^{\frac{1}{b}}e^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2}i}}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{b\left|a\right|^{\frac{1}{b}}e^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}dt\cmt{0<\frac{1}{b}<1\land\left|-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2}\right|=\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{1}{b\left|a\right|^{\frac{1}{b}}e^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)\\ & =\left|a\right|^{-\frac{1}{b}}e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(5)-2

\(0\leq x<\infty\)なので\(x=te^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\)とおくと\(1<b\)より\(\Arg\left(\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i\right)\ne-\pi\)となるので、\(x^{b}=\left(te^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\right)^{b}=t^{b}\left(e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\right)^{b}=t^{b}e^{b\Log\left(e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\right)}=t^{b}e^{b\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}=t^{b}e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2}i}\)となる。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{iax^{b}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}e^{iax^{b}}e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}dt\cmt{x=te^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}e^{iat^{b}e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2}i}}dt\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}e^{iat^{b}\sgn\left(a\right)i}dt\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}}e^{-\left|a\right|t^{b}}dt\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-C_{3}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{1}-C_{2}-C}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C_{1}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz+\int_{C_{2}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz+\int_{-C}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz\right) \end{align*} ここで積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上\(r\)を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は半径\(R\)を一定で\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow-\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)\)とし、\(C_{3}\)は\(\mathit{\theta=-\frac{\pi}{2b}}\sgn\left(a\right)\)上で\(re^{-i\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)}\)を\(r:R\rightarrow0\)である。
また、\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)とすると\(C\)は\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{i\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)}\rightarrow0\)を通る。
右辺第1項は、
\begin{align*} \int_{C_{1}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz & =\int_{0}^{\infty}e^{-\left|a\right|x^{b}}dx\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-y}\frac{1}{\left|a\right|^{\frac{1}{b}}b}y^{\frac{1}{b}-1}dy\cmt{\left|a\right|x^{b}=y}\\ & =\frac{\left|a\right|^{-\frac{1}{b}}}{b}\int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{\frac{1}{b}-1}dy\\ & =\frac{\left|a\right|^{-\frac{1}{b}}}{b}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)\\ & =\left|a\right|^{-\frac{1}{b}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} となる。
右辺第2項は、\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)では\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)なので、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{C_{2}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{_{0}}^{-\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)}e^{-\left|a\right|R^{b}e^{ib\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{_{0}}^{-\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)}e^{-\left|a\right|R^{b}\left(\cos\left(b\theta\right)+i\sin\left(b\theta\right)\right)}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{_{0}}^{\left|-\frac{\pi}{2b}\sgn\left(a\right)\right|}\left|e^{-\left|a\right|R^{b}\left(\cos\left(b\theta\right)+i\sin\left(b\theta\right)\right)}iRe^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{_{0}}^{\frac{\pi}{2b}}e^{-\left|a\right|R^{b}\cos\left(b\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{_{0}}^{\frac{\pi}{2b}}e^{-\left|a\right|R^{b}\sin\left(\frac{\pi}{2}-b\theta\right)}d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{_{0}}^{\frac{\pi}{2b}}e^{-\left|a\right|R^{b}\left(1-\frac{2b\theta}{^{\pi}}\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-\left|a\right|R^{b}}\int_{_{0}}^{\frac{\pi}{2b}}e^{\left|a\right|R^{b}\frac{2b\theta}{^{\pi}}}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-\left|a\right|R^{b}}\left[\frac{\pi}{2\left|a\right|bR^{b}}e^{\left|a\right|R^{b}\frac{2b\theta}{^{\pi}}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2b}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2\left|a\right|bR^{b-1}}e^{-\left|a\right|R^{b}}\left[e^{\left|a\right|R^{b}\frac{2b\theta}{^{\pi}}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2b}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2\left|a\right|bR^{b-1}}e^{-\left|a\right|R^{b}}\left(e^{\left|a\right|R^{b}}-1\right)\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2\left|a\right|bR^{b-1}}\left(1-e^{-\left|a\right|R^{b}}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \int_{C_{2}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz=0 \] となる。
右辺第3項の周回積分は積分経路内に特異点がないので
\[ \int_{-C}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{iax^{b}}dx & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C_{1}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz+\int_{C_{2}}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz+\int_{-C}e^{-\left|a\right|z^{b}}dz\right)\\ & =e^{\sgn\left(a\right)\frac{\pi}{2b}i}\left|a\right|^{-\frac{1}{b}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right) \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。