第2可算ならば可分

$\Rightarrow$

第2可算を満たすのである開基$\mathcal{B}$が存在し$\left|\mathcal{B}\right|\le {\mathrm{\aleph }}_0$となる。
この開基は空集合を取り除いても開基なので、$\mathcal{B}\setminus \mathrm{\varnothing }\to \mathcal{B}$と置き換える。
このとき$\mathcal{B}$に属する各集合$B$から1つずつ要素を選んだものを$x_B$として$X$の部分集合$A=\{x_B\in B;B\in \mathcal{B}\}$を作る。
このとき$\left|\mathcal{B}\right|\le {\mathrm{\aleph }}_0$なので$A$は$\left|A\right|\le {\mathrm{\aleph }}_0$となり高々可算となる。
ここで$A$が稠密でないと仮定をする。
稠密でないので$A^a\ne X$となり、$X\setminus A^a\ne X\setminus X=\mathrm{\varnothing }$は閉集合の補集合であり空ではない開集合となる。
$X$は第2可算なので、ある$B\in \mathcal{B}$が存在し$B\subseteq X\setminus A^a$となり、$x_B\in B\subseteq X\setminus A^a$となる。
しかし、$x_B\in A$より$x_B\in A^a$なので$x_B\notin A^{ac}=X\setminus A^a$となり矛盾。
故に背理法より$A$は稠密となり、$A$は可算なので$X$は可分となる。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
上限位相は可分であるが第2可算公理を満たさない。
従って$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。

距離空間では$\Leftarrow$が成り立つ。

可分なので稠密な可算集合$A\subseteq X$が存在する。
ここで$\mathcal{B}=\{B(a,\frac{1}{n});a\in A,n\in \mathbb{N}\}$とおくと$A$は可算なので$\mathcal{B}$も可算となる。
$X$の開集合$U$を任意にとり$x\in U$とする。
稠密なので$x\in U\subseteq X=A^a$となり、$B(x,\frac{1}{2n})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$となるので$a\in B(x,\frac{1}{2n})\cap A$とする。
このとき、$d(a,x)<$$\frac{1}{2n}$なので、$x\in B(a,\frac{1}{2n})$となる。
ここで任意の$p,q\in B(a,\frac{1}{2n})$に対し、$d(p,q)\le d(p,a)+d(a,q)<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}$となるので$p\in B(a,\frac{1}{2n})\subseteq B(q,\frac{1}{n})$となる。
これより、$x\in B(a,\frac{1}{2n})\subseteq B(x,\frac{1}{n})$となるので$r>0$を$B(x,r)\subseteq U$を満たすようにとり、$\frac{1}{n}<r$とすれば、$x\in B(a,\frac{1}{2n})\subseteq B(x,\frac{1}{n})\subseteq B(x,r)\subseteq U$となる。
従って、$x\in B(a,\frac{1}{2n})\subseteq U$となる$B(a,\frac{1}{2n})\in \mathcal{B}$が存在するので、$\mathcal{B}$は$X$の開基となる。
これより、$\mathcal{B}$は可算な開基となるので、第2可算公理を満たす。

別証明

$\Rightarrow$を示す。
条件より第2可算を満たすので、ある開基$\mathcal{B}$が存在し$\left|\mathcal{B}\right|\le {\mathrm{\aleph }}_0$となり、空集合を取り除いても開基なので$\mathcal{B}\setminus \mathrm{\varnothing }\to \mathcal{B}$と置き換えて、$\mathcal{B}$に属する各集合$B\in \mathcal{B}$から1つずつ要素を選んだものを$x_B$として、$X$の部分集合$A=\{x_B\in B;B\in \mathcal{B}\}$を作る。
このとき、任意の開集合$O\in \mathcal{O}$について、ある開基の元$B\in \mathcal{B}$と$x_B\in A$が存在し、$x_B\in B\subseteq O$となり、
$$\begin{array}{rl}O\cap A\ne \mathrm{\varnothing }& \Leftarrow B\cap A\ne \mathrm{\varnothing }\\ & \Leftarrow \left\{x_B\right\}\cap A\ne \mathrm{\varnothing }\\ & \iff \left\{x_B\right\}⊈A^c\\ & \iff x_B\in A\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ となるので、$O\ne \mathrm{\varnothing }$ならば$O\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$を満たすので$A$は稠密となる。
従って、$\Rightarrow$が成り立つ。