(0)

非退化性

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}0}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =0 \end{align*} が成り立つためには、\(\forall k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,\left(x_{k}-y_{k}\right)=0\)とならなければいけないがこのとき\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
これより、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)^{2}}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

ミンコフスキーの不等式より、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので、\(d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)\leq d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\)となる。

-

これより、非退化性・対称性・3角不等式を満たすので\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{2}\right)\)は距離空間になる。

(0)-2

3角不等式を直接計算してみる。
コーシー・シュワルツの不等式\(\left|\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}\right|\leq\left|\boldsymbol{x}\right|\left|\boldsymbol{y}\right|\)を使うと、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-z_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(x_{k}-y_{k}\right)+\left(y_{k}-z_{k}\right)\right\} ^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}+\left(y_{k}-z_{k}\right)^{2}+2\left(x_{k}-y_{k}\right)\left(y_{k}-z_{k}\right)\right\} }\\ & \leq\sqrt{d^{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d^{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(y_{j}-z_{j}\right)^{2}}}\\ & =\sqrt{d^{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d^{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)+2d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)}\\ & =\sqrt{\left\{ d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\right\} ^{2}}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので、\(d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)\leq d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\)となる。