ユークリッド距離は距離空間
ユークリッド距離は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{2}\right)\)は距離空間になる。
この距離をユークリッド距離といい、距離空間をユークリッド距離空間または\(L^{2}\)距離という。
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{2}\right)\)は距離空間になる。
この距離をユークリッド距離といい、距離空間をユークリッド距離空間または\(L^{2}\)距離という。
(0)
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}0}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =0 \end{align*} が成り立つためには、\(\forall k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,\left(x_{k}-y_{k}\right)=0\)とならなければいけないがこのとき\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
これより、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)^{2}}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
ミンコフスキーの不等式より、\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{2}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので、\(d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)\leq d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\)となる。
-
これより、非退化性・対称性・3角不等式を満たすので\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{2}\right)\)は距離空間になる。(0)-2
3角不等式を直接計算してみる。コーシー・シュワルツの不等式\(\left|\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}\right|\leq\left|\boldsymbol{x}\right|\left|\boldsymbol{y}\right|\)を使うと、
\begin{align*} d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-z_{k}\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(x_{k}-y_{k}\right)+\left(y_{k}-z_{k}\right)\right\} ^{2}}\\ & =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}+\left(y_{k}-z_{k}\right)^{2}+2\left(x_{k}-y_{k}\right)\left(y_{k}-z_{k}\right)\right\} }\\ & \leq\sqrt{d^{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d^{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(y_{j}-z_{j}\right)^{2}}}\\ & =\sqrt{d^{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d^{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)+2d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)}\\ & =\sqrt{\left\{ d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\right\} ^{2}}\\ & =d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので、\(d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)\leq d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{2}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)\)となる。
ページ情報
タイトル | ユークリッド距離は距離空間 |
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収束列と閉集合・閉包・稠密との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]
距離空間でコーシー列ならば有界列
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]