正弦定理

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)について証明する。
3角形\(ABC\)の外接円の中心を\(J\)する。

\(0^{\circ}<A<90^{\circ}\)のとき

直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき円周角の定理より、\(\angle CAB=\angle CA'B\)となり、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となるので\(\angle BCA'=90^{\circ}\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\angle CA'B\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。

\(A=90^{\circ}\)のとき

このとき、\(BC=2R=a\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{\sin90^{\circ}}=2R\)となる。

\(90^{\circ}<A<180^{\circ}\)のとき

直線\(BJ\)と外接円の交点で\(B\)でないほうを\(A'\)とする。
このとき4角形\(ABA'C\)は外接円に内接しているので対角の和は\(180^{\circ}\)になり\(\angle CAB+\angle BA'C=180^{\circ}\)となる。
また、\(A'\)のとり方より、\(A'B\)は外接円の直径となるので\(A'B=2R\)となる。
これより、\(\sin A=\sin\left(\angle CAB\right)=\sin\left(\pi-\angle BA'C\right)=\sin\left(\angle BA'C\right)=\frac{\left|BC\right|}{\left|A'B\right|}=\frac{a}{2R}\)となるので\(\frac{a}{\sin A}=2R\)となる。

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これらより、\(0^{\circ}<A<180^{\circ}\)について、\(\frac{a}{\sin A}=2R\)が成り立つ。
同様に\(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2R\)も成り立つので題意は成り立つ。