\(\Rightarrow\)

\(f\)は連続で\(\left\{ a,b\right\} \)は離散位相なので\(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right),f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\in\mathcal{O}\)となる。
また、写像\(f\)は
\begin{align*} X & =f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cup f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) \end{align*} \begin{align*} \emptyset & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cap f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) \end{align*} を満たす。
これらより、\(X\)は連結なので\(\left(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=\emptyset\land f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=X\right)\lor\left(f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)=X\land f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)=\emptyset\right)\)となる。
従って\(f\left(X\right)=\left\{ a\right\} \lor f\left(X\right)=\left\{ b\right\} \)となり定値写像となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
\(X\)が連結でないとき、\(X\)の空でない開集合\(O_{1},O_{2}\)が存在し、
\[ X=O_{1}\cup O_{2},\emptyset=O_{1}\cap O_{2} \] となる。
ここで写像\(f\)を
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} a & x\in O_{1}\\ b & x\in O_{2} \end{cases} \] とすると、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right) & =O_{1}\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right) & =O_{2}\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right) & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\cup f^{\bullet}\left(\left\{ b\right\} \right)\\ & =O_{1}\cup O_{2}\\ & =X\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\emptyset\right) & =\emptyset\\ & \in\mathcal{O} \end{align*} となるので連続であるが定値写像ではない。
従って\(X\)が連結でないならば定値写像ではないではないので、対偶をとると\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立っているので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。