(0)

\[ a\succeq b\Leftrightarrow\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] \[ b\preceq a\Leftrightarrow\left\{ \left(b,a\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] なのでこれらの間の関係は\(a\)と\(b\)を入れ替えて\(\succeq\)を\(\preceq\)にすればいい。
すなわち、\(a\succeq b\Leftrightarrow b\preceq a\)となる。
同様に\(a\succ b\Leftrightarrow b\prec a\)となる。

(1)

\(\left(X,\preceq\right)\)は半順序集合であるので、反射律・反対称律・推移律を満たす。
\(a\preceq a\)であるので、\(a\succeq a\)となり反射律を満たす。
\(b\succeq a\land a\succeq b\Leftrightarrow a\preceq b\land b\preceq a\Leftrightarrow a=b\)となるので反対称律を満たす。
\(a\succeq b\land b\succeq c\Leftrightarrow b\preceq a\land c\preceq b\Leftrightarrow c\preceq a\Leftrightarrow a\succeq c\)となるので推移律を満たす。
これより、\(\left(X,\succeq\right)\)は半順序集合となる。
\(\left(X,\preceq\right)\)が完全律を満たすならば\(a\succeq b\lor b\succeq a\Leftrightarrow b\preceq a\lor a\preceq b\Leftrightarrow\top\)となるので\(\left(X,\succeq\right)\)も完全律を満たす。
これより、\(\left(X,\preceq\right)\)が全順序集合なら\(\left(X,\succeq\right)\)も全順序集合となる。

(2)

\(\left(X,\prec\right)\)は狭義半順序集合であるので、非反射律・推移律を満たす。
\(a\succ a\Leftrightarrow a\prec a\Leftrightarrow\bot\)となるので非反射律となる。
\(a\succ b\land b\succ c\Leftrightarrow b\prec a\land c\prec b\Leftrightarrow c\prec a\Leftrightarrow a\succ c\)となるので推移律を満たす。
これより、\(\left(X,\succ\right)\)は狭義半順序集合となる。
\(\left(X,\prec\right)\)が3分律を満たすとする。
\(a\succ b\lor b\succ a\lor a=b\Leftrightarrow b\prec a\lor a\prec b\lor a=b\Leftrightarrow\top\)
\(a\succ b\land b\succ a\)\(\Leftrightarrow b\prec a\land a\prec b\Leftrightarrow\bot\)
\(a\succ b\land a=b\Leftrightarrow b\prec a\land a=b\Leftrightarrow a\prec a\land a=b\Leftrightarrow\bot\)
同様に\(b\succ a\land a=b\Leftrightarrow\bot\)
これより、\(\left(X,\succ\right)\)も3分律を満たす。
故に\(\left(X,\prec\right)\)が狭義全順序集合なら\(\left(X,\succ\right)\)も狭義全順序集合となる。