エジプト式分数の個数
エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
エジプト式分数は無数に存在する。
ある分数\(\frac{a}{b}\)のエジプト式分数の最小(分母が最大)の単位分数が\(\frac{1}{m}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \frac{1}{m} & =\frac{m+1}{m\left(m+1\right)}\\ & =\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m\left(m+1\right)} \end{align*} とすれば新しいエジプト式分数が作れるのでこれを繰り返せば無数にエジプト式分数を作れる。
故に題意は成り立つ。
このとき、
\begin{align*} \frac{1}{m} & =\frac{m+1}{m\left(m+1\right)}\\ & =\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m\left(m+1\right)} \end{align*} とすれば新しいエジプト式分数が作れるのでこれを繰り返せば無数にエジプト式分数を作れる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | エジプト式分数の個数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aqnlfi2y/ |
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母関数の逆演算
\[
a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0}
\]
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
真分数・仮分数・帯分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{3}{3},\frac{4}{3}
\]
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[
\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\
x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\
x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)
\end{cases}
\]