連続と開集合の逆像が開集合は同値

\(f\)は連続を開近傍を使った表現
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] で証明する。

\(\Rightarrow\)

\(O_{Y}\)の逆像内に任意の点\(x\)をとると\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となる。
このとき、\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\cap f\left(X\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\)なので、\(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となる\(\epsilon\)近傍をとれる。
\(f\)は連続であるので、ある\(\delta\)が存在し、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)を満たす。
従って、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となり\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となる。
これより、任意の点\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)に対しある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となるので\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)は開集合となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の\(x\in X\)、任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)は開集合で\(f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)なので\(f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)\(\Rightarrow\)\(x\in f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)となる。
開集合の逆像は開集合という条件より、\(f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)は開集合となり、ある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)となる。
従って、\(f\)は連続であるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。