ε近傍(開球)の定義

by nomura · 2023年5月10日

ε近傍(開球)の定義
距離空間$\left(X,d\right)$があるとき、$X$の元$a\in X$と正の実数$\epsilon>0$を用いて、$a$からの距離が$\epsilon$より小さい元全体を$a$の$\epsilon$近傍や中心$a$半径$\epsilon$の開球(open
ball)といい、$U_{\epsilon}\left(a\right)$や$U\left(a,\epsilon\right)$で表したり$B_{\epsilon}\left(x\right)$や$B\left(a,\epsilon\right)$で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。

実数全体の集合$\mathbb{R}$に通常距離$d$を入れた距離空間$\left(\mathbb{R},d\right)$で$a\in\mathbb{R},\epsilon>0$とすると$\epsilon$近傍$U\left(a,\epsilon\right)$は開集合$\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)$となる。

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タイトル	ε近傍(開球)の定義
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収束列と閉集合・閉包・稠密との関係

閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。

距離空間での空集合・全体集合・1点集合

距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。

有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ

有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。

距離空間ならばハウスドルフ空間

距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。