偏角の和と積の偏角
偏角の和と積の偏角
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
偏角を\([a,a+2\pi),-2\pi<a\leq0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in[a/2,a/2+\pi)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(2)
偏角を\((a,a+2\pi]\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(3)
偏角を\((-\pi,\pi]\)とすると\(0\leq\Arg\left(\alpha\right)\;\land\;\Arg\left(\beta\right)\leq0\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
上側は\(a\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。同様に下側は\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。
(2)
\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)より、\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。下側も同様に成り立つ。
(3)
\(-\pi\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<\pi\)となるので、\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。ページ情報
| タイトル | 偏角の和と積の偏角 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azeqmefr/ |
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対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]