積位相(直積位相)の定義
積位相(直積位相)の定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならないので注意。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
ページ情報
| タイトル | 積位相(直積位相)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azi0un9h/ |
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パスカルの法則の一般形
\[
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\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
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\]
飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]