(0)

実数\(\mathbb{R}\)の通常位相\(\mathcal{O}\)はコンパクトでないのでそれより強い上限位相\(\mathcal{O}_{u}\)もコンパクトではない。

-

下限位相空間も同様である。

(0)-2

直接証明する。
上限位相空間の開被覆\(\left\{ \left(-n,n\right];n\in\mathbb{N}\right\} \)は有限部分開被覆を持たない。
故に上限位相空間はコンパクトではない。