(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
ベルヌーイ多項式と下降階乗
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)と下降階乗の間には次の関係がある。
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
ベルヌーイ多項式\(B_{n}\left(x\right)\)と下降階乗の間には次の関係がある。
(1)第2種スターリング数
\[ B_{n+1}\left(x\right)=B_{n+1}+\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{2}\left(n,k\right)P\left(x,k+1\right) \](2)第1種スターリング数
\[ P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right) \]-
\(S_{1}\left(n,k\right)\)は第1種スターリング数\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
略
ページ情報
| タイトル | (*)ベルヌーイ多項式と下降階乗 |
| URL | https://www.nomuramath.com/b7g4hlbx/ |
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ベルヌーイ多項式の級数表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}
\]
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[
B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)
\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}
\]
(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
\[
B_{n}\left(0\right)=B_{n}
\]