(1)

非反射律

$$\begin{array}{rl}x\prec x& \iff x⪯x\wedge x\ne x\\ & \iff x⪯x\wedge \mathrm{\perp }\\ & \iff \mathrm{\perp }\end{array}$$ となるので、狭義順序$\prec$は非反射律を満たす。

推移律

$$\begin{array}{rl}x\prec y\wedge y\prec z& \iff x⪯y\wedge x\ne y\wedge y⪯z\wedge y\ne z\\ & \Rightarrow x⪯y\wedge y⪯z\wedge x\ne z\\ & \Rightarrow x⪯z\wedge x\ne z\\ & \iff x\prec z\end{array}$$ 途中で$x=z$と仮定すると、$x⪯y\wedge x\ne y\wedge y⪯z\wedge y\ne z\Rightarrow x⪯y\wedge y⪯z\wedge x=z\iff x⪯y\wedge y⪯x\wedge x=z\iff x=y\wedge x=z$となり、$x\prec y$に矛盾するので$x\ne z$となることを使った。
これより、狭義順序$\prec$は推移律を満たす。

-

これらより、非反射律・推移律を満たすので$(X,\prec )$は狭義半順序関係を満たす。

(2)

反射律

$$\begin{array}{rl}x⪯x& \iff x\prec x\vee x=x\\ & \iff \mathrm{\perp }\vee \mathrm{\top }\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ となるので半順序$⪯$は反射律を満たす。

反対称律

$$\begin{array}{rl}x⪯y\wedge y⪯x& \iff (x\prec y\vee x=y)\wedge (y\prec x\vee y=x)\\ & \iff (x\prec y\wedge y\prec x)\vee x=y\\ & \iff x=y\end{array}$$ となるので半順序$⪯$は反対称律を満たす。

推移律

$$\begin{array}{rl}x⪯y\wedge y⪯z& \iff (x\prec y\vee x=y)\wedge (y\prec z\vee y=z)\\ & \Rightarrow (x\prec y\wedge y\prec z)\vee (x=y\wedge y=z)\\ & \Rightarrow x\prec z\vee x=z\\ & \iff x⪯z\end{array}$$ となるので半順序$⪯$は推移律を満たす。

-

これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので$(X,⪯)$は半順序関係を満たす。

(3)

全順序集合$(X,⪯)$は半順序関係でもあるので(1)より$(X,\prec )$は狭義半順序関係(非反射律・推移律)を満たす。
狭義半順序関係であるとき3分律は$a\prec b\vee b\prec a\vee a=b$のみを満たせばよいので、
$$\begin{array}{rl}a\prec b\vee b\prec a\vee a=b& \iff (a⪯b\wedge a\ne b)\vee (b⪯a\wedge a\ne b)\vee a=b\\ & \iff \{(a⪯b\vee b⪯a)\wedge (a⪯b\vee a\ne b)\wedge (b⪯a\vee a\ne b)\wedge (a\ne b)\}\vee a=b\\ & \iff \{(a⪯b\vee a\ne b)\wedge (b⪯a\vee a\ne b)\wedge (a\ne b)\}\vee a=b\\ & \iff \{(a⪯b\wedge b⪯a\wedge \mathrm{\perp })\vee (a\ne b)\}\vee a=b\\ & \iff (a=b\vee a\ne b)\vee a=b\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ これより、$(X,\prec )$は3分律を満たす
従って、$(X,\prec )$は非反射律・推移律・3分律を満たすので狭義全順序集合となる。

(4)

狭義全順序集合$(X,\prec )$は狭義半順序関係でもあるので(2)より$(X,⪯)$は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
このとき、
$$\begin{array}{rl}a⪯b\vee b⪯a& \iff a\prec b\vee a=b\vee b\prec a\vee b=a\\ & \iff a\prec b\vee b\prec a\vee b=a\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ となるので$(X,⪯)$は完全律を満たす。
従って、$(X,⪯)$は反射律・反対称律・推移律・完全律を満たすので全順序集合となる。

(5)

完全律を満たさないとき、
$$\begin{array}{rl}a\prec b\vee b\prec a\vee a=b& \iff a\prec b\vee a=b\vee b\prec a\vee a=b\\ & \iff a⪯b\vee b⪯a\\ & \Rightarrow \mathrm{\perp }\end{array}$$ となるので3分律を満たさない。
故に題意は成り立つ。

(6)

狭義半順序集合なので3分律を満たさないとき、$a\prec b\vee b\prec a\vee a=b\iff \mathrm{\perp }$のみ満たせばいいので、
$$\begin{array}{rl}a⪯b\vee b⪯a& \iff a\prec b\vee a=b\vee b\prec a\vee a=b\\ & \iff a\prec b\vee b\prec a\vee a=b\\ & \iff \mathrm{\perp }\end{array}$$ より、完全律を満たさない。
故に題意は成り立つ。