有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ

by nomura · 2023年5月26日

有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$が有限集合とする。
このとき、距離化可能と離散位相は同値である。

$\Rightarrow$

対偶で示す。
離散位相でないならば距離化不可能であることを示せばいい。
任意の元$x\in X$について1点集合$\left\{ x\right\} $が開集合ならば、任意の部分集合$A\subseteq X$についても$A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} $と開集合の和集合で表せるので開集合となり離散位相となる。
これより、離散位相でないためにはある1点集合$\left\{ a\right\} $が開集合ではない必要がある。
このとき、距離化可能であると仮定する。
$\epsilon=\frac{1}{2}\inf\left\{ d\left(a,b\right);b\in X\right\} $とすると、$\forall y\in\left\{ a\right\} ,U_{\epsilon}\left(y\right)=\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} $となるので$\left\{ a\right\} $は開集合となる。
従って矛盾となるので、背理法より距離化不可能であることになる。
故に離散位相でないならば距離化不可能となり、元の題意の対偶が示される。