逆2乗の別表示
逆2乗の別表示
\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]
\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]
\begin{align*}
\frac{1}{(k+1)^{2}} & =\frac{1}{(k+1)}\int_{0}^{1}x^{k}dx\\
& =\frac{1}{(k+1)}\left(\left[x^{k+1}\log x\right]_{0}^{1}-\left(k+1\right)\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx\right)\\
& =-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆2乗の別表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bjnx3ppm/ |
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凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[
\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\
x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\
x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)
\end{cases}
\]
畳み込みの性質
\[
\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)
\]
max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]