負の整数の2項係数
負の整数の2項係数
\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。
\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \](2)
\[ C\left(-m,n\right)=\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \](3)
\[ C\left(m,-n\right)=C\left(m,m+n\right) \](1)
\begin{align*} C\left(-m,-n\right) & =\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!\left(-m+n\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(m-1\right)!\left(n-m\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} C\left(-m,n\right) & =C\left(-m,-\left(m+n\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}C\left(m+n-1,m-1\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} C\left(m,-n\right) & =\frac{m!}{\left(-n\right)!\left(m+n\right)!}\\ & =C\left(m,m+n\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 負の整数の2項係数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bn096ia7/ |
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飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]