(1)

任意の\(a\in A\)に対し、\(0\leq d\left(x,a\right)\)なので、\(d\left(x,A\right)=\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \geq0\)より題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} d\left(x,\left\{ a\right\} \right) & =\inf\left\{ d\left(x,b'\right);a'\in\left\{ a\right\} \right\} \\ & =d\left(x,a\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} d\left(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right) & =\inf\left\{ d\left(a',b'\right);a'\in\left\{ a\right\} ,b'\in\left\{ b\right\} \right\} \\ & =d\left(a,b\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} d\left(x,A\right)=0 & \Leftrightarrow\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} =0\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,d\left(x,a\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,a\in B\left(x,\epsilon\right)\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,A\cap B\left(x,\epsilon\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow x\in A^{a} \end{align*}

(5)

\begin{align*} x\in A^{i} & \Leftrightarrow\lnot\left(x\notin A^{i}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A^{ic}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A^{ca}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(d\left(x,A^{c}\right)=0\right)\\ & \Leftrightarrow0<d\left(x,A^{c}\right) \end{align*} 途中で(4)を使った。

(6)

3角不等式より、
\[ d\left(x,a\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,a\right) \] となり、これより、
\[ d\left(x,A\right)=\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \leq d\left(x,a\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,a\right) \] となる。
この式は任意の\(a\in A\)で成り立つので、
\[ d\left(x,A\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,A\right) \] が成り立つ。
移項すると、
\[ d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\leq d\left(x,y\right) \] この式の\(x,y\)を入れ替えると、
\[ -\left(d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right)\leq d\left(x,y\right) \] 従ってこの2つの式より、
\[ -d\left(x,y\right)\leq d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\leq d\left(x,y\right) \] となるので、
\[ \left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|\leq d\left(x,y\right) \] が成り立つ。

(7)

(6)より、\(\left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|\leq d\left(x,y\right)\)なので、
\[ \forall\epsilon>0,d\left(x,y\right)<\epsilon\rightarrow\left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|<\epsilon \] となり、\(d\left(x,A\right)\)は\(x\)に関して連続となる。

(8)

\(\Rightarrow\)

\(A\cap B\ne\emptyset\)なので\(a\in A\cap B\)となる元\(a\)が存在するので、
\begin{align*} d\left(A,B\right) & =\inf\left(d\left(a',b'\right);a'\in A,b'\in B\right)\\ & =d\left(a,a\right)\\ & =0 \end{align*} となり\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\begin{align*} d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right) & =\inf\left\{ d\left(a',b'\right);a'\in\left(0,1\right),b'\in\left(1,2\right)\right\} \\ & =0 \end{align*} であるが、 \(\left(0,1\right)\cap\left(1,2\right)=\emptyset\)である。
従って逆は一般的に成り立たない。