(1)

連結成分は同値関係なので、\(C_{x}\cap C_{y}\ne0\)と\(C_{x}=C_{y}\)は同値となる。

(1)-2

\(\Rightarrow\)

連結成分\(C_{x},C_{y}\)は連結で条件より\(C_{x}\cap C_{y}\ne0\)なので\(C_{x}\cup C_{y}\)は連結となる。
\(x\)を要素に持つ最大の連結部分集合は\(C_{x}\)なので、\(x\in C_{x}\cup C_{y}\)より\(C_{x}\cup C_{y}\subseteq C_{x}\)となる。
従って\(C_{y}\subseteq C_{x}\)となる。
同様にすると、\(C_{x}\subseteq C_{y}\)となるので\(C_{x}=C_{y}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(C_{x}\)は\(x\)を要素に持つので空集合ではない。
これより、\(C_{x}=C_{y}\ne0\)となるがこのとき、\(C_{x}\cap C_{y}=C_{x}\cap C_{x}=C_{x}\ne0\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。

(2)

連結成分と同様にすればいい。