複素フーリエ級数
複素フーリエ級数
周期\(2\pi\)の区分的に滑らかな関数\(f\left(x\right)\)を、
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{imx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx \] と表したものを複素フーリエ級数という。
係数\(c_{m}\)を複素フーリエ係数という。
周期\(2\pi\)の区分的に滑らかな関数\(f\left(x\right)\)を、
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{imx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx \] と表したものを複素フーリエ級数という。
係数\(c_{m}\)を複素フーリエ係数という。
周期\(L\)の関数\(f\left(x\right)\)の場合は、
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
また、周期\(L\)の関数\(f\left(x\right)\)は、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{a}^{a+L}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
また、周期\(L\)の関数\(f\left(x\right)\)は、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、
\[ f\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{i\frac{2\pi}{L}mx} \] \[ c_{m}=\frac{1}{L}\int_{a}^{a+L}f\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{L}mx}dx \] となる。
複素フーリエ級数
\[ f\left(x\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{imx} \] の両辺に\(e^{-im'x}\)をかけて\(x:-\pi\rightarrow\pi\)まで積分すると、
\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-im'x}dx & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(c_{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-im'x}dx\right)\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(c_{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m-m'\right)x}dx\right)\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}2\pi c_{m}\delta_{m,m'}\\ & =2\pi c_{m'} \end{align*} となるので、
\[ c_{m'}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-im'x}dx \] となる。
\[ f\left(x\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{m}e^{imx} \] の両辺に\(e^{-im'x}\)をかけて\(x:-\pi\rightarrow\pi\)まで積分すると、
\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-im'x}dx & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(c_{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-im'x}dx\right)\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(c_{m}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m-m'\right)x}dx\right)\\ & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}2\pi c_{m}\delta_{m,m'}\\ & =2\pi c_{m'} \end{align*} となるので、
\[ c_{m'}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-im'x}dx \] となる。
ページ情報
| タイトル | 複素フーリエ級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/brghfo8m/ |
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実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]
3角関数・指数関数の直交性
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}
\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx
\]
複素フーリエ係数の関係
\[
c_{-n}=\overline{c_{n}}
\]