第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
(1)
\[ \left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0 \](2)
\[ \left(1-x^{2}\right)W_{n}''(x)-\left(2x+1\right)W_{n}'(x)+n(n+1)W_{n}(x)=0 \](1)
\[ W(x)=(-1)^{n}V_{n}(-x) \] と(2)より、\begin{align*} 0 & =\left(1-x^{2}\right)W_{n}''(x)-\left(2x+1\right)W_{n}'(x)+n(n+1)W_{n}(x)\\ & =(-1)^{n}\left[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(-x)+\left(2x+1\right)V_{n}'(-x)+n(n+1)V_{n}(-x)\right]\\ & =(-1)^{n}\left[\left(1-y^{2}\right)V_{n}''(y)-\left(2y-1\right)V_{n}'(y)+n(n+1)V_{n}(y)\right]\qquad,\qquad y=-x \end{align*} これより、
\[ \left(1-y^{2}\right)V_{n}''(y)-\left(2y-1\right)V_{n}'(y)+n(n+1)V_{n}(y)=0 \]
(2)
第2種チェビシェフ多項式の微分方程式より、\[ \left(1-x^{2}\right)U_{2n}''(x)-3xU_{2n}'(x)+4n(n+1)U_{2n}(x)=0 \] \[ U_{2n}\left(x\right)=W_{n}(2x^{2}-1) \] \[ U_{2n}'(x)=4xW_{n}'(2x^{2}-1) \] \begin{align*} U_{2n}''(x) & =\frac{d}{dx}\left(4xW_{n}'(2x^{2}-1)\right)\\ & =4W_{n}'(2x^{2}-1)+16x^{2}W''(2x^{2}-1)\\ & =4\left(W_{n}'(2x^{2}-1)+4x^{2}W''(2x^{2}-1)\right) \end{align*} より、
\begin{align*} 0 & =\left(1-x^{2}\right)U_{2n}''(x)-3xU_{2n}'(x)+4n(n+1)U_{2n}(x)\\ & =4\left[\left(1-x^{2}\right)\left(W_{n}'(2x^{2}-1)+4x^{2}W''(2x^{2}-1)\right)-3x^{2}W_{n}'(2x^{2}-1)+n(n+1)W_{n}(2x^{2}-1)\right]\\ & =4\left[4x^{2}\left(1-x^{2}\right)W''(2x^{2}-1)+\left(1-4x^{2}\right)W_{n}'(2x^{2}-1)+n(n+1)W_{n}(2x^{2}-1)\right]\\ & =4\left[\left(1-y^{2}\right)W''(y)-\left(2y+1\right)W_{n}'(y)+n(n+1)W_{n}(y)\right]\qquad,\qquad y=2x^{2}-1 \end{align*} これより、
\[ \left(1-y^{2}\right)W''(y)-\left(2y+1\right)W_{n}'(y)+n(n+1)W_{n}(y)=0 \]
ページ情報
| タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bvmahmve/ |
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チェビシェフ多項式の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[
T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)
\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[
T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)
\]