(1)

\(\Rightarrow\)

\(0<A<\pi,0<B<\pi\)であるので、3角形の外接円の半径を\(R\)とすると、
\begin{align*} A<B & \Rightarrow\begin{cases} 0<A<B\leq\frac{\pi}{2} & B\leq\frac{\pi}{2}\\ 0<A<\pi-B<\frac{\pi}{2} & \frac{\pi}{2}<B \end{cases}\\ & \Rightarrow\begin{cases} \sin A<\sin B & B\leq\frac{\pi}{2}\\ \sin A<\sin B & \frac{\pi}{2}<B \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\sin A<\sin B\\ & \Leftrightarrow\frac{a}{2R}<\frac{b}{2R}\cmt{\because\text{正弦定理}}\\ & \Leftrightarrow a<b \end{align*} となる。
また、\(\sin A<\sin B\Rightarrow b<a\)も同様に示される。
\(A=B\)であるとき、3角形の外接円の半径を\(R\)とすると、
\begin{align*} A=B & \Rightarrow\sin A=\sin B\\ & \Leftrightarrow\frac{a}{2R}=\frac{b}{2R}\cmt{\because\text{正弦定理}}\\ & \Leftrightarrow a=b \end{align*} となる。
これらより\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A<B,A=B,B<A\)はどれかが真になり、\(a<b,a=b,b<a\)は2つが同時に真になることはないので転換法より\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

別証明

\(a<b\)であるとき、辺\(CA\)上に点\(D\)を\(CB=CD\)となるようにとれる。
そうすると、
\begin{align*} \angle A & <\angle A+\angle ABD\\ & =\angle CDB\\ & =\angle DBC\\ & <\angle B \end{align*} となるので\(\angle A<\angle B\)となる。
同様に\(b<a\)であるときは\(\angle B<\angle A\)となる。
\(a=b\)のときは、3角形\(ABC\)は\(\left|BC\right|=\left|CA\right|\)の2等辺3角形であるので、\(\angle A=\angle B\)となる。
これより、
\[ a<b\Rightarrow\angle B<\angle A \] \[ b<a\Rightarrow\angle A<\angle B \] \[ a=b\Rightarrow\angle B=\angle A \] となる。
また、\(a<b,b<a,a=b\)はいずれかが真になり、\(\angle B<\angle A,\angle A<\angle B,\angle B=\angle A\)のうち2つが同時に真になることはない。
従って転換法より、逆
\[ a<b\Leftarrow\angle B<\angle A \] \[ b<a\Leftarrow\angle A<\angle B \] \[ a=b\Leftarrow\angle B=\angle A \] が成り立つ。
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、
\[ a<b\Leftrightarrow\angle B<\angle A \] \[ b<a\Leftrightarrow\angle A<\angle B \] \[ a=b\Leftrightarrow\angle B=\angle A \] が成り立つ。
従って題意は成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(A<\frac{\pi}{2}\)であるとき、\(0<\cos A\)であるので、余弦定理より、
\begin{align*} a^{2} & =b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\ & <b^{2}+c^{2} \end{align*} となる。
また、\(A>\frac{\pi}{2}\)であるとき、\(\cos A<0\)であるので、余弦定理より、
\begin{align*} a^{2} & =b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\ & >b^{2}+c^{2} \end{align*} となる。
\(A=\frac{\pi}{2}\)であるとき、3平方の定理より、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)となる。
これらより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A<\frac{\pi}{2},A=\frac{\pi}{2},A>\frac{\pi}{2}\)はどれかが真になり、\(a^{2}<b^{2}+c^{2},a^{2}=b^{2}+c^{2},a^{2}>b^{2}+c^{2}\)は2つが同時に真になることはないので転換法より\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。