(0)

任意の\(a,b\in\mathbb{R},a<b\)に対し、\(\left(a,b\right]\)は空集合でも全体集合でもなく、閉集合かつ開集合である。
故に上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。

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下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)についても同様にすればいい。

(0)-2

\(\left(-\infty,0\right],\left(0,\infty\right)\)は空集合ではなく開集合であり、\(\mathbb{R}=\left(-\infty,0\right]\cup\left(0,\infty\right),\emptyset=\left(-\infty,0\right]\cap\left(0,\infty\right)\)となる。
従って上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は非連結である。