(0)

任意の$a,b\in \mathbb{R},a<b$に対し、$(a,b]$は空集合でも全体集合でもなく、閉集合かつ開集合である。
故に上限位相空間$(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_u)$は非連結である。

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下限位相空間$(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_u)$についても同様にすればいい。

(0)-2

$(-\mathrm{\infty },0],(0,\mathrm{\infty })$は空集合ではなく開集合であり、$\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty },0]\cup (0,\mathrm{\infty }),\mathrm{\varnothing }=(-\mathrm{\infty },0]\cap (0,\mathrm{\infty })$となる。
従って上限位相空間$(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_u)$は非連結である。