株価とマーケットポートフォリオからベータ値を求める

by · 2023年12月5日

株価とマーケットポートフォリオからベータ値を求める
時刻t∈{0,1,⋯,n}での証券Aの株価PA,tとマーケットポートフォリオMの価格PA,tがあるとき、AとMの相関係数をρMAとして、Aのリターンの標準偏差をσA、Bのリターンの標準偏差をσBとするとベータ値は
βA=ρMAσAσM となる。
無リスク金利をrfとする。
時刻k∈{1,2,⋯,n}でのリターンrA,k,rM,kは
rA,k=PA,kPA,k−1−1 rM,k=PM,kPM,k−1−1 となり、AのリターンとMのリターンをRA={rA,k}k={1,2,⋯,n},RM={rM,k}k={1,2,⋯,n}とする。
このとき、
Sk=rA,k−rf−(βA(rM,k−rf)+αA) として、回帰直線を求めるように、
∑k=1nSk2 が最小となるaA,βAを求めると、
0=∂∂αA∑k=1nSk2=∂∂αA∑k=1n(rA,k−rf−βA(rM,k−rf)−αA)2=−2∑k=1n(rA,k−rf−βA(rM,k−rf)−αA)=−2(nE[RA−rf]−βAnE[RM−rf]−αAn)=−2n(E[RA−rf]−βAE[RM−rf]−αA) 0=∂∂βA∑k=1nSk2=∂∂βA∑k=1n(rA,k−rf−βA(rM,k−rf)−αA)2=−2∑k=1n(rM,k−rf)(rA,k−rf−βA(rM,k−rf)−αA)=−2∑k=1n((rM,k−rf)(rA,k−rf)−βA(rM,k−rf)2−αA(rM,k−rf))=−2(nE[(RM−rf)(RA−rf)]−βAnE[(RM−rf)2]−αAnE[RM−rf])=−2n(E[RM−rf]E[RA−rf]+Cov[RM−rf,RA−rf])−βA(V[RM−rf]+E2[RM−rf])−αAE[RM−rf]=−2n(E[RM−rf]E[RA−rf]+σMA)−βA(σM2+E2[RM−rf])−αAE[RM−rf] となるので、
(1E[RM−rf]E[RM−rf]σM+E2[RM−rf])(αAβA)=(E[RA−rf]E[RM−rf]E[RA−rf]+σMA) これより、αA,βAを求めると、
(αAβA)=(1E[RM−rf]E[RM−rf]σM2+E2[RM−rf])−1(E[RA−rf]E[RM−rf]E[RA−rf]+σMA)=1σM2(σM2+E2[RM−rf]−E[RM−rf]−E[RM−rf]1)(E[RA−rf]E[RM−rf]E[RA−rf]+σMA)=1σM2(σM2E[RA−rf]−E[RM−rf]σMAσMA)=(E[RA−rf]−E[RM−rf]σMAσM2σMAσM2)=(E[RA−rf]−E[RM−rf]ρMAσAσMρMAσAσM) となる。
従って題意は成り立つ。
数学言語
在宅ワーカー募集中
スポンサー募集！
ページ情報
タイトル
株価とマーケットポートフォリオからベータ値を求める
URL
https://www.nomuramath.com/c9x75eey/
SNSボタン
オプション取引の解説
運用による資産推移
x={(x0+blog⁡a)at−blog⁡aa≠1x0+bta=1
割引配当による理論株価
P=ar
破産確率
{(qp)a−(qp)a+b1−(qp)a+bp≠12ba+bp=12